La Relatividad General es una teoría de la gravedad y para poder entender sus antecedentes debemos fijarnos en cómo se han desarrollado las distintas teorías de la gravedad. La visión que tenía Aristóteles del movimiento de los cuerpos, dificultó durante mucho tiempo la comprensión de la gravedad. Aristóteles creía que la fuerza sólo se podía aplicar mediante el contacto, la fuerza a distancia era imposible y para que un cuerpo se mantuviera en movimiento uniforme se necesitaba una fuerza constante.
La visión que tenía Copérnico del sistema solar era importante ya que permitía una consideración lógica de la gravedad. Las leyes del movimiento planetario de Kepler así como la comprensión del movimiento y caída libre de los cuerpos de Galileo, establecieron las bases para la Teoría de la Gravedad de Newton, que fue presentada en los Principia en 1687. La Ley de la Gravedad de Newton se expresa por:
F = G M1M2/d2
donde F es la fuerza entre los cuerpos de masas M1, y M2 y d es la distancia entre ellos. G es la Constante de Gravitación Universal.
Tras recibir su forma analítica definitiva por Euler, los axiomas del movimiento de Newton fueron reelaborados por Lagrange, Hamilton, y Jacobi para convertirlos en métodos más generales y de mayor potencia, pero más alejados de la experiencia cotidiana. Se consideró que la Ley de la Gravitación Universal de Newton había demostrado ser correcta, gracias al trabajo de Clairaut y Laplace. Laplace consideró la estabilidad del Sistema Solar en Traité du Mécanique Céleste en 1799. De hecho, el así llamado problema de los tres cuerpos, fue estudiado de forma extensiva en el siglo XIX y no fue comprendido adecuadamente hasta mucho tiempo después. El estudio del potencial gravitatorio permitía variaciones en la gravedad debidas a irregularidades en la forma de la Tierra para ser estudiadas tanto teórica como prácticamente. Poisson utilizó el enfoque del potencial gravitatorio para desarrollar una ecuación que, a diferencia de la de Newton, podía resolverse bajo condiciones bastante generales.
La Teoría de la Gravedad de Newton tuvo bastante éxito. No había muchas razones para cuestionarla excepto por una debilidad, que era explicar cómo sabía cada uno de los dos cuerpos que el otro estaba allí. Maxwell en 1864 realizó importantes comentarios sobre la gravedad. En su principal obra Una Teoría Dinámica del Campo Electromagnético (1864) escribió:
“... para explicar la acción electromagnética entre cuerpos distantes sin suponer la existencia de fuerzas capaces de actuar directamente a distancias razonables”.
Al final de la obra, Maxwell comenta sobre la gravedad:
“Después de haber rastreado la acción en el medio circundante tanto de las atracciones como de las repulsiones magnéticas y eléctricas y de haber hallado que dependen del inverso del cuadrado de la distancia, nos preguntamos lógicamente si las atracciones de la gravedad, que siguen la misma ley de la distancia, no son también rastreables en la acción del medio circundante”.
Sin embargo Maxwell indica que existe una paradoja causada por la atracción de cuerpos semejantes. La energía del medio debe ser disminuida por la presencia de los cuerpos y Maxwell afirma:
“Dada mi incapacidad para comprender en qué manera un medio puede tener dichas propiedades, no puedo seguir esta dirección en la búsqueda de la causa de la gravedad”.
En 1907, dos años después de proponer la Teoría Especial de la Relatividad, Einstein estaba preparando una revisión de la Teoría Especial de la Relatividad cuando, de repente, se preguntó en qué manera habría que modificar la gravitación de Newton para que encajara en la relatividad especial. En este momento se le ocurrió a Einstein lo que él describió como la idea más feliz de mi vida, es decir que un observador que está cayendo desde el tejado de una casa no experimenta campo gravitatorio. Como consecuencia propuso el Principio de Equivalencia:
“… debemos suponer por tanto la equivalencia física completa de un campo gravitatorio y la correspondiente aceleración del marco de referencia. Este supuesto extiende el principio de relatividad al caso del movimiento uniformemente acelerado del marco de referencia”.
Tras el importante avance del Principio de Equivalencia de 1907, Einstein no publicó nada sobre la gravedad hasta 1911. Fue entonces cuando comprendió que la curvatura de la luz en el campo gravitatorio, de la que en 1907 supo que era una consecuencia del principio de equivalencia, podría ser comprobada con observaciones astronómicas. En 1907 pensó únicamente en términos de observaciones terrestres donde existían pocas posibilidades de verificación experimental. En ese momento también se discutió el desplazamiento al rojo debido a la gravedad, la luz que surge de un objeto masivo será desplazada hacia el rojo por la pérdida de energía en su escape del campo gravitatorio.
Einstein, publicó más artículos sobre la gravedad en 1912. En estos comprendió que las transformaciones de Lorentz no se aplicarían en este marco más general. Einstein también comprendió que las ecuaciones del campo gravitatorio estaban obligadas a ser no lineales y que el principio de equivalencia parecía mantenerse sólo de forma local.
Einstein, publicó más artículos sobre la gravedad en 1912. En estos comprendió que las transformaciones de Lorentz no se aplicarían en este marco más general. Einstein también comprendió que las ecuaciones del campo gravitatorio estaban obligadas a ser no lineales y que el principio de equivalencia parecía mantenerse sólo de forma local.
Este trabajo de Einstein indujo a otros a presentar teorías sobre la gravedad. Los trabajos de Nordström, Abraham y Mie fueron consecuencia de los intentos, hasta entonces infructuosos, de Einstein de encontrar una teoría satisfactoria. Sin embargo Einstein comprendió sus problemas:
“Si todos los sistemas acelerados son equivalentes, entonces la geometría euclidiana no puede contenerlos a todos”.
Einstein recordó entonces que había estudiado la Teoría de las Superficies de Gauss cuando era estudiante y comprendió súbitamente que los fundamentos de la geometría tenían trascendencia física. Consultó con su amigo Grossmann quien pudo informar a Einstein de los importantes desarrollos de Riemann, Ricci (Ricci-Curbastro) y Levi-Civita. Einstein escribió:
“... durante toda mi vida nunca había trabajado tan duro, y me he visto imbuido por un gran respeto hacia las matemáticas, cuya parte más sutil, en mi simple orientación, hasta ahora siempre había considerado como un puro lujo”.
En 1913 Einstein y Grossmann publicaron conjuntamente un artículo donde se emplea el tensor de los cálculos de Ricci y Levi-Civita para realizar más avances. Grossmann le dio a Einstein el tensor de Riemann-Christoffel que, junto con el tensor de Ricci que puede ser derivado del anterior, se convertirían en las principales herramientas de la futura teoría. Se realizaron progresos y la gravedad fue descrita por primera vez por medio del tensor métrico pero la teoría todavía no era correcta. Cuando Planck visitó a Einstein en 1913 y éste le informó sobre el estado de sus teorías, Planck dijo:
“Como un amigo más viejo debo advertirte, en primer lugar, que no tendrás éxito e incluso si lo tienes, nadie te creerá”.
Planck se equivocaba, pero sólo en que Einstein no tuviera éxito con su teoría, no en que esta estuviera lista para ser aceptada. Fue en la segunda mitad de 1915 cuando Einstein completó su teoría. Antes de eso, sin embargo, había escrito un artículo en Octubre de 1914, casi la mitad del cual es un tratado de análisis tensorial y geometría diferencial. Este artículo llevó a Einstein a mantener correspondencia con Levi-Civita en la que éste señalaba errores técnicos en el trabajo de Einstein sobre los tensores. Einstein estaba encantado de poder intercambiar ideas con Levi-Civita por cuyas ideas sobre la relatividad sentía más simpatía que por las de sus otros colegas.
A finales de Junio de 1915 Einstein pasó una semana en Göttingen donde dio seis conferencias de dos horas cada una sobre su versión (incorrecta) de 1914 de la Relatividad General. Hilbert y Klein asistieron a estas conferencias y Einstein comentó tras abandonar Göttingen:
“Para gran alegría mía, he conseguido convencer completamente a Hilbert y Klein”.
Los últimos pasos hacia la Teoría General de la Relatividad fueron dados por Einstein y Hilbert casi al mismo tiempo. Ambos reconocieron fallos en el trabajo de Octubre de Einstein de 1914 y que hubo correspondencia entre ellos dos en Noviembre de 1915. Cuánto aprendió el uno del otro es difícil de determinar pero el hecho de que ambos descubrieran la misma forma final para las ecuaciones del campo gravitatorio con pocos días de diferencia debe indicar que el intercambio de ideas fue útil.
El 18 de Noviembre realizó un descubrimiento sobre el que escribió: Durante unos días estuve fuera de mí con una alegre excitación. El problema tenía que ver con el perihelio de la órbita del planeta Mercurio. Le Verrier había apuntado en 1859 que el perihelio (el punto donde el planeta se encuentra más cerca del Sol) avanzaba 38” cada siglo más de lo que cabía esperar por otras causas. Se propusieron muchas posibles soluciones, Venus tenía un 10% más de masa de lo que se creía; había otro planeta dentro de la órbita de Mercurio; Mercurio tenía una luna; y, la única no excluida por la experimentación, que la Ley del Inverso del Cuadrado de Newton era incorrecta. Esta última posibilidad reemplazaría 1/d2 por 1/dp, donde p = 2+ ε (ε sería un número muy pequeño). En 1882 el avance se conocía de forma más precisa, 43" por siglo. Desde 1911 Einstein había comprendido la importancia de las observaciones astronómicas para sus teorías y había trabajado con Freundlich para realizar mediciones de la órbita de Mercurio que confirmaran la Teoría General de la Relatividad. Freundlich confirmó el dato de 43' por siglo en un artículo de 1913. Einstein aplicó su teoría de la gravedad y descubrió que el avance de 43” por siglo coincidía exactamente sin necesidad de postular lunas invisibles o cualquier otra hipótesis. Por supuesto el artículo de Einstein de 18 de Noviembre todavía no tenía las ecuaciones de campo correctas pero esto no afectó al cálculo particular relativo a Mercurio. Freundlich intentó otras pruebas de la relatividad general basadas en el desplazamiento gravitacional al rojo, pero no fueron concluyentes.Igualmente, en el artículo de 18 de Noviembre, Einstein descubre que, en su trabajo de 1911, la curvatura de la luz era errónea en un factor de 2, dando 1.74”. De hecho, tras muchos intentos fallidos (debido a las nubes, a la guerra, a la incompetencia, etc.) de medir la deflexión, dos expediciones británicas en 1919 confirmaron la predicción de Einstein, obteniendo 1.98”± 0.30” y 1.61” ± 0.30”.
El 25 de Noviembre Einstein presentó su artículo Las Ecuaciones de Campo de la Gravedad que proporciona las ecuaciones de campo correctas para la Relatividad General. Los cálculos de la curvatura de la luz y el avance del perihelio de Mercurio permanecieron tal como él había calculado una semana antes.
El 25 de Noviembre Einstein presentó su artículo Las Ecuaciones de Campo de la Gravedad que proporciona las ecuaciones de campo correctas para la Relatividad General. Los cálculos de la curvatura de la luz y el avance del perihelio de Mercurio permanecieron tal como él había calculado una semana antes.
Cinco días antes de que Einstein presentara su trabajo de 25 de Noviembre, Hilbert había presentado un artículo, Las Bases de la Física, que también contenía las ecuaciones de campo correctas para la gravedad. El trabajo de Hilbert contiene algunas contribuciones importantes a la Relatividad que no se encuentran en el trabajo de Einstein. Hilbert aplicó el principio variacional a la gravedad y atribuyó uno de los principales teoremas relativo a las identidades surgidas a Emmy Noether quien estuvo en Göttingen en 1915. No se han proporcionado pruebas del teorema. El artículo de Hilbert contiene la esperanza de que su trabajo lleve a la unificación de la gravedad y el electromagnetismo.
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| Emmy Noether |
Inmediatamente después del artículo de Einstein de 1915 en el que se proporcionaban las ecuaciones de campo correctas, Karl Schwarzschild encontró en 1816 una solución matemática a las ecuaciones, que se corresponde con el campo gravitatorio de un objeto masivo compacto. En aquel momento este era un trabajo puramente teórico, pero por supuesto, los trabajos sobre estrellas de neutrones, pulsars y agujeros negros se basan enteramente en las soluciones de Schwarzschild que ha aportado su parte al trabajo más importante que actualmente se realiza en Astronomía.
Einstein había alcanzado la versión final de la Relatividad General tras un lento camino, con avances pero también con errores. En Diciembre de 1915 se dijo a sí mismo:
“Este tipo Einstein se ajusta a lo que le conviene. Cada año se retracta de lo que escribió el año anterior”.
La mayoría de los colegas de Einstein no sabían qué hacer para comprender la rápida sucesión de artículos, cada uno de ellos corrigiendo, modificando y extendiendo lo que se había hecho anteriormente. En Diciembre de 1915 Ehrenfest escribió a Lorentz refiriéndose a la Teoría de 25 de Noviembre de 1915. La correspondencia entre Ehrenfest y Lorentz acerca de la Teoría General de la Relatividad duró dos meses, mientras intentaban comprenderla. Eventualmente Lorentz comprendió la teoría y escribió a Ehrenfest diciendo he felicitado a Einstein por sus brillantes resultados. Ehrenfest contestó:
“Tu comentario “he felicitado a Einstein por sus brillantes resultados” tiene un significado similar para mí tal como un masón reconoce a otro por las señales secretas”.
En marzo de 1916 Einstein completó un artículo explicando la Relatividad General en términos más fácilmente comprensibles. El artículo fue bien recibido y entonces escribió otro artículo sobre relatividad que fue ampliamente leído y que superó las 20 ediciones.
Hoy en día la relatividad juega un importante papel en muchas áreas: la cosmología, la teoría del Big Bang, etc. y ya ha sido comprobada experimentalmente a un alto grado de precisión.
Artículo: J J O'Connor y E F Robertson
Mac Tutor History of Mathematics
Traducción: Jesús Canive
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